Métodos Iterativos

Métodos Iterativos.

Trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial.

Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación cuadrática, por ejemplo:

                                                f(x) = x2 − x − 2 = 0

Un método directo para resolverlo es aplicar la fórmula general

Un método iterativo consta de los siguientes pasos.

1. inicia con una solución aproximada (Semilla).

2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.

Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.

Ventajas y Desventajas:

Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la solución. Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para obtener la solución en forma exacta. También se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de cálculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de iteraciones es relativamente reducido.

Puntos fijos atractivos

Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la secuencia {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.

Sistemas lineales

En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos del subespacio de  krylov

Métodos iterativos estacionarios

Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la medida de error (el residuo), desde una ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.

Métodos del subespacio de Krylov

Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz por el residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado. El método prototípico de esta clase es el método del gradiente conjugado. Otros métodos son el  método del residuo mínimo generalizado y el método del gradiente biconjugado.

Convergencia

Dado que estos métodos forman una base, el método converge en N iteraciones, donde N es el tamaño del sistema. Sin embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmación no se sostiene; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza una precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la función del espectro del operador.

Pre condicionante

El operador aproximativo que aparece en los métodos iterativos estacionarios puede incorporarse también en los métodos del subespacio de Krylov, donde se pasan de ser transformaciones del operador original a un operador mejor condicionado. La construcción de precondicionadores es un área de investigación muy extensa.

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica

sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx (1)

Donde x es el vector de incógnitas.

2. Se toma una aproximación para las soluciones

3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

xi+1 = c + Bxi (2)