5.3 Interpolación segmentada.

5.3 Interpolación segmentada

Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares ${\displaystyle (x,f(x))}$ por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica ${\displaystyle P(x)}$. Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma ${\displaystyle P(x)=ax+b}$.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de ${\displaystyle (N-1)}$ funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función ${\displaystyle P(x)}$ será el conjunto de segmentos que unen nudos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Ejemplo : Interpolar con splines ${\displaystyle f(x)=1/x}$ , en los puntos en los que ${\displaystyle x}$ vale 1, 2 y 4

• ${\displaystyle f(1)=1}$
• ${\displaystyle f(2)=0.5}$
• ${\displaystyle f(4)=0.25}$

El primer segmento ${\displaystyle P_{1}(x)=ax+b}$ deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas ${\displaystyle (1,1)}$ y ${\displaystyle (2,0.5)}$. Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas:

• (1) ${\displaystyle 1=a+b}$
• (2) ${\displaystyle 0.5=2a+b}$

De (1) se obtiene:

${\displaystyle a=1-b}$ (3)

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:

${\displaystyle 0.5=2(1-b)+b}$

luego

${\displaystyle b=1.5}$

Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:

${\displaystyle a=-0.5}$

Por lo tanto, se concluye que: ${\displaystyle P_{1}(x)=-0.5x+1.5}$ El segundo segmento ${\displaystyle P_{2}(x)=ax+b}$ deberá unir el segundo punto ${\displaystyle (2,0.5)}$ con el tercer punto ${\displaystyle (4,0.25)}$. Análogamente a lo hecho para ${\displaystyle P_{1}(x)}$, en el caso de ${\displaystyle P_{2}(x)}$ se obtiene:

1. (1) ${\displaystyle 0.5=2a+b}$
2. (2) ${\displaystyle 0.25=4a+b}$

${\displaystyle a=-0.125,b=0.75}$

Luego ${\displaystyle P_{2}(x)=-0.125x+0.75}$

Interpolación Segmentaria Cuadrática

En este caso, los polinomios ${\displaystyle P(x)}$ a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$

Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener ${\displaystyle n-1}$ ecuaciones (donde ${\displaystyle n}$ son la cantidad de puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos ${\displaystyle P(x)}$ va a ser continua, ya que para calcular los coeficientes que ajusten los polinomios a los puntos, vamos a determinar como condiciones:

• Que las partes de la función a trozos ${\displaystyle P(x)}$ pasen por esos puntos. Es decir, que las dos ${\displaystyle P_{n}(x)}$ que rodean a ${\displaystyle f(x)}$ que queremos aproximar, sean igual a ${\displaystyle f(x)}$ en cada uno de estos puntos.

• Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. Tenemos 3 incógnitas por cada ${\displaystyle P(x)}$. En un caso sencillo con ${\displaystyle f(x)}$ definida en tres puntos y dos ecuaciones ${\displaystyle P(x)}$ para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el ${\displaystyle P(x)}$ con el valor de ${\displaystyle f(x)}$ en cada punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos ${\displaystyle P(x)}$.

Se necesita una sexta ecuación,¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los ${\displaystyle P(x)}$.

Interpolación Segmentaria Cúbica

En este caso, cada polinomio ${\displaystyle P(x)}$ a través del que construimos los Splines en ${\displaystyle [m,n]}$ tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

En este caso vamos a tener cuatro incógnitas por cada intervalo ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:

• Que las partes de la función a trozos ${\displaystyle P(x)}$ pasen por ese punto. Es decir, que las dos ${\displaystyle P_{n}(x)}$ que rodean al ${\displaystyle f(x)}$ que queremos aproximar, sean igual a ${\displaystyle f(x)}$ en cada uno de estos puntos.

• Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

• Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar:

• Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de ${\displaystyle P}$ se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ en el intervalo ${\displaystyle [m,n]}$.

• Dar los valores de la derivada segunda de ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo ${\displaystyle [m,n]}$.

• Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo ${\displaystyle [m,n]}$

• Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que la derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].