6.1 Métodos de un paso.

mayo 07, 2020

6.1 Métodos de un paso.

6.1 Métodos de un paso

Método de Euler

El método de Euler, Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que va de “x0” a “xf” en “n” sub-intervalos de ancho h; ósea:

h=(xf-x0)/n, De manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos: x0,x1,x2,… xn del intervalo de interés [x0,xf].

Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

Xi=xo+ih,0 ≤ + ≤ n

La condición inicial y(x0)=y0, representa el punto P0=(x0,y0), por donde pasa la curva.

La solución de la ecuación del planteamiento inicial, se denotara como f(x)=y.

Teniendo el punto p0, se puede evaluar la primera derivada de f(x) en ese punto; por lo tanto:

Ejemplo

Y´=2x-3y+1,y(1)=5,y(1.2)

1. Primer caso h=0,1

Primero. Escribimos la Ec. Dif. En la forma dy/dx=f(x,y), para extraer su segundo miembro dy/dx=2x+3y+1

Definimos

x0,y0 y h De acuerdo a los datos del problema

X0=1

Y0=5

Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

Y0+1=y0+hf(x0,y0)

Y1=y0+h*(2x0-3y0+1)

Y1=5+(0.1)(2(1)-3(5)+1)

Desarrollamos hasta el valor buscado en x, en este caso:

X=1.2

Y1=5+(0.1)(2-15+1)

=5+(0.1)(-12)

=5-1.2

Y1=y(1.1)=3.8000

Y1+1=y1+hf(x1,y1)

Y2=y1+h*(2x1-3y1+1)

Y2=3.8+(0.1)(2(1.1)-3(3.8)+1)

=3 .9+(o.1)(2.2-11.4+1)

=3.8+(0.1)(-8.2)

=3.8-0.82

y2=y(1.2)=2.9800

2. Aplicar el método de Euler para aproximar y(1.3), dada la ecuación diferencial.

y´ = x^2+0.5y^2

y(1) =2

Solución:

Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente h = 0.1 para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es:

Método de Euler mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Ejemplo

1.Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos:

Y´=x-y+5

Y(1)=2

Datos en una primera iteración tenemos:

H=0.1

F(x,y)=x-y+5 x1=x0+h=1.1

X0=1 y1=y0+h.f(x0,y0)=2.4

Y0=2 y1=2+0.1((4+(1.1-2.4+5))/2)=2.385

Resumimos los resultados en la siguiente tabla

Concluimos entonces que la aproximación buscada es:

Y(1.3)=3.078635

2.Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar y(0.5) si:

y´ = 2xy

y(0) = 1

Solución:

Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos h = 0.1 y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de yx primero y posteriormente el de yx. .

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de y1* coincide con el y1 (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular y2 se usará y1 y no y1*

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de y2 (Euler 1) y el de y2*. El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%!

Método de Runge-kutta

Es un método genérico de resolución genérica de ecuaciones diferenciales. Son un conjunto de métodos iterativos (explícitos e implícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente del problema de valor inicial.

Sea y´(t) = f(t,y(t)).

Una ecuación diferencial ordinaria, con f:Ω CRxR´´→R´´, Donde omega es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de “f” sea (t0,y0)εΩ

Entonces el método Rk (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general

Donde “h“es el paso por iteración, o lo que es lo mismo el incremento ∆tn entre los sucesivos puntos tn y tn+1. Los coeficientes ”ki“ son términos de aproximación intermedios, evaluados en t de manera local.

con aij,bi,a coeficientes propios del esquema numérico elegido dependiente de la regla cuadrática utilizada. Los esquemas runge-kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes ”aij“del esquema.

Ejemplo