6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, pueden ser reducidos a un sistema equivalente de primer orden si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo solo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de la forma:

Reducción a un sistema de primer orden

Dada un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a la suma (n+1)xm ecuaciones para ver esto consideramos un sistema en que interviene m funciones incógnitas “xi" y sus “n“derivadas e introduzcamos un nuevo conjunto de variables ”Yi”,”k” definidos de la siguiente manera: 

El sistema de primer orden equivalente en las variables “yi”, “k” resulta ser:

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden de tres ecuaciones:

Si se introducen tres funciones incógnitas nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones.

Ejemplo

1.La población p(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por

En donde “t” se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población?, ¿en qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?
Solución: calculamos el tamaño de la población, p(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas

Donde hemos denotado p1=dp/dt, integrando los dos miembros de esta identidad entre “0” y ”t“obtenemos.

Donde hemos efectuado el cambio de variable Q=p(t)
Teniendo en cuenta que

Concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es:

Por lo tanto el valor límite de la población es:

Como se desprende de una simple aplicación de la regla, tenemos que encontrar el valor “t0” para que p(t0)´=(10^6)/2 , resolvemos la ecuación

Concluimos que

2.Resolver la ecuación diferencial

El objetivo es encontrar la función y Dy=2x  pasando dx  para integrar

 y= 2 (x2 )/2+c
y=x^(2 )+c 

Solución : y=x^(2)+c