5.6 Problemas de aplicación.

5.6 Problemas de aplicación.

Se puede utilizar en el cálculo de estructuras, instalaciones eléctricas, hidráulicas y sanitarias, en cálculos de carreteras, topografía y hasta en diseño de las estructuras, no en todos los casos pero principalmente cuando hay mala toma de datos o haya datos faltantes.

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenado.

 Tenemos los siguientes 3:

· Interpolación Segmentaría Lineal

· Interpolación Segmentaría Cuadrática

· Interpolación Segmentaría Cúbica

Ejemplo

Dados n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)… (xn,yn) del plano, hallar un polinomio de grado n

Pn(x)= a0+a1+a2x2+…+anxn

Que pase por estos puntos, esto es que Pn(x1)=y1, para n= 0,1, 2,… n

Para probar la existencia de este polinomio se pueden considerar sus coeficientes (a0, a1, a2,… an) como incógnitas a determinar en las n+1 ecuaciones Pn(x1)=y1, para n=0,1,2…n, ya que los (x1, y1) son números ya conocidos como datos de problema. Aparece el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas.

a0+a1X0+a2x0^2+…anx0^n=y0

a0+a1X1+a2x1^2+…anx1^n=y1…

a0+a1Xn+a2xn^2+…anxn^n=yn

Si llamamos A la matriz de este sistema, sabemos que el sistema tiene solución única si el determinante de A es distinto de cero. Pero esta matriz es la conocida matriz de Vandermon de, cuyo determinante es distinto de cero si los x1 son distintos.