Método de biseccion

MÉTODO DE BISECCION

Este método , que se utiliza para resolver ecuaciones de una variable, está basado en el «Teorema de los Valores Intermedios» (TVM), en el cual se establece que toda función continua f, en un intervalo cerrado [a,b], toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b), de tal forma que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz que verifica f(a).f(b)<0.

Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la raíz a partir de un intervalo inicial (a,b) en el cual hay un cambio de signo en la función, es decir: f(a)f(b)<0.

Se obtiene el punto medio:

xm es la nueva aproximación a  la raíz, y se vuelve a tomar un intervalo, pero ahora mas pequeño, considerando que siga existiendo un cambio de signo en la función, es decir, el nuevo intervalo queda determinado por:

El método termina cuando se cumple con alguna condición de paro, en este programa la condición es la tolerancia :

Este es un método “de encierro”, para aplicarlo se debe contar con un intervalo inicial, en donde f(a)*f(b) < 0. Este método requiere de menos pasos en un programa, sin embargo converge mas lentamente que el de Newton-Raphson.

Los pasos del método son los siguientes: 

1.- Localizar un intervalo que contenga al menos una raíz.

2.- Dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f(x) cambia de signo, para conservar al menos una raíz.

3.- Repetir el procesó varias veces hasta cumplir con la tolerancia deseada.

                                          

si:

      f(m) f(b)<0 entonces conservar (m,b) como el sem. intervalo que contiene al menos una raíz.

A cada paso se le llama “iteración”  y reduce el intervalo a la mitad.

Después de cada iteración el intervalo re reduce a la mitad, después de n iteraciones, el intervalo original se había reducido 2ⁿ veces, por lo tanto, si el intervalo original  es de tamaño “a” y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos Xm consecutivas es “  ”, entonces se requerían “n” iteraciones donde “n” se calcula con la igualdad de la expresión:

                     

de donde:        iteraciones que se requieren.