5.2 Polinomio de interpolación de Lagrange.

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. 

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El problema de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico. En este artículo vemos muy brevemente una manera elemental de interpolación y la obtención de la conocida Fórmula Interpoladora de Lagrange.

• Interpolacion y Polinomio de Interpolacion de Lagrange

Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que

Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1

Se requiere entonces que el numerador contenga

(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)

El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

• N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange

Teorema

Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que

f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n

Este polinomio está dado por:

Donde 

• Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange

Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25.

Los polinomios de Lagrange son:

P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3

P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15

f(3) = P(3) = 0.325

P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15

f(3) = P(3) = 0.325

• El error en la interpolación de Lagrange

El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con :

• Algoritmo en Matlab Langre

function fi = Lagran_(x, f, xi)

fi=zeros(size(xi));

np1=length(f); 

for i=1:np1

z=ones(size(xi));

for j=1:np1

if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end

end

fi=fi+z*f(i);

end return;

Nota : Comandos de Matlab

poly(r) – toma un vector con las raíces de un polinomio y genera el polinomio

poly([1 2 3]) = 1 -6 11 -6

roots(1 -6 11 -6) = 3 2 1

polifit(x,y,n) – genera un polinomio interpolante para los datos x, y de grado n, x y y deben tener n+1 datos

polyfit([1.1 2.3 3.9 5.1],[3.887 4.276 4.651 2.117],3) =

ans =

-0.20145 1.43852 -2.74771 5.43700

El polinomio es

-0.20145x^3 + 1.43852x^2 -2.74771x + 5.43700